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Filtro pasa bajo activo para subwoofer

Figura 1: El circuto impreso del filtro activo pasa bajos para subwoofer.

En este artículo es descrito un simple filtro pasa bajo activo de segundo orden con frecuencia de corte ajustable entre 20 Hz y 200 Hz. El circuito, con alimentación asimétrica, utiliza señales audio de baja potencia (niveles de linea) y fue pensado como elemento filtrante antes de un amplificador conectado a un subwoofer. El proyecto es basado en la tradicional Célula Sallen-Key, que ofrece cálculos y realización sencillos a daño de un factor de calidad bajo. Una alternativa mas rápida a este circuito es el Filtro pasa bajo pasivo para subwoofer.

1 - Características del circuito

Figura 2

El comportamiento del filtro fue averiguado tanto mediante una simulación con LTSpice como mediante una medida grosera con una tarjeta de sonido de PC y el software Visual Analyser. A continuación son representados los módulos de las funciones de transferencia en el caso de potenciómetro posicionado a la frecuencia de corte mínima (Figura 3) y máxima (Figura 4). Se puede notar como las dos curvas son casi iguales, excepto a las altas frecuencias, donde la baja sensibilidad de la tarjeta de sonido y su ruido no permiten una medida precisa. La pendencia es siempre de -40 db por decada, debido al segundo orden del filtro.

Figura 3: Módulo en dB de la función de transferencia del circuito en el caso de frecuencia de corte de 20 Hz, obtenido mediante una medida del circuito real con una tarjeta de sonido de un ordenador y el software Visual Analyser. La diferencia entre las dos curvas a alta frecuencia es debida a la baja sensibilidad de la tarjeta de sonido y su ruido. En abscisa la frecuencia está en coordinadas logarítmicas.

Podemos notar como, en el caso en lo que la frecuencia de corte valga 20 Hz, el pico de resonancia sea ausente; ese pico aparece por el contrario cuando f_c = 200 Hz; eso es coherente con el procedimiento de proyecto presentado en la sección 2, ya que la inecuación que garantiza su ausencia fue evaluada en R_P = R_tot, y entonces por f_t = 20 Hz. El pico de resonancia es de todas formas aceptable.

Figura 4: Módulo en dB de la función de transferencia del circuito en el caso de frecuencia de corte de 200 Hz, obtenido mediante una medida del circuito real con una tarjeta de sonido de un ordenador y el software Visual Analyser. La diferencia entre las dos curvas a alta frecuencia es debida a la baja sensibilidad de la tarjeta de sonido y su ruido. En abscisa la frecuencia está en coordinadas logarítmicas.

Un aspecto negativo del filtro es la sensibilidad no bien distribuida del potenciómetro: una variación lineal de su resistencia no corresponde a una variación lineal de la frecuencia de corte. En seguida está la frecuencia de corte en función de la resistencia del potenciómetro.

Figura 5: Variación de la frecuencia de corte en función del potenciómetro.

2 - Notas de realización

La realización del circuito no presenta dificultades, ya que utiliza componentes muy comunes, es de dimensiones pequeñas y de complejidad baja. La placa representada en la Figura 1 tiene dimensiones de 4cm x 5cm, y entonces es un submúltiplo de la Estándar europeo Eurocard, que usualmente mide 160mm x 100mm. Los conectores son tres: la entrada del señal audio, la salida del señal audio y la alimentación.

Descarga el proyecto completo en KiCad (68.3Kb)
Descarga el esquema, el circuito impreso, los archivos gerber y los pdf de este proyecto.

Figura 6: Serigrafàia y circuito impreso del filtro.

3 - Modificación para entrada estéreo

El circuito fue diseñado inicialmente para tener una entrada mono. Las frecuencias mas bajas de hecho son usualmente iguales para el canal derecho y el canal izquierdo de las señales estéreos, ya que nuestras orejas no distinguen la origen espacial. Por la misma razón es normal que haya dos altavoces, una a la derecha y una a la izquierda, para reproducir las frecuencias medianas y altas, pero solo un subwoofer en posición central. Debido a las preguntas en los comentarios, son propuestas dos soluciones:

Conectar a la entrada del filtro solamente el canal izquierdo (canal L), ya que las señales bajas son iguales en los dos canales;
Actuar la modificación propuesta en la Figura 7;

La modificación consiste en esto: el resistor de entrada R_z y el condensador CP1 no serán soldados, y en su lugar serán conectadas dos resistencia con el doble del valor, juntas a su condensador de acoplamiento.

Figura 7: La modificación al filtro para cambiar su entrada desde mono a estéreo. R_z y CP1 deben ser substituidas por dos resistores en paralelo con el doble del valor, con sus relativos condensadores de acoplamiento.

4 - El proyecto: el estadio de acoplamiento y polarización

El primer estadio del circuito es un amplificador no inversor, cuya función es de acoplar la tensión en entrada al filtro y de polarizar la señal sumando mitad de la tensión de alimentación. En el circuito tradicional de un amplificador no inversor, V_IN es conectada directamente al pin no inversor del operacional; en ese caso la ganancia es: $Latex: V_{OUT} = \left(1+\dfrac{R_f}{R_g}\right) V_{IN1}$ En ese caso V_IN es la tensión después de la red resistiva hecha por R₁, R₂ y R_z. Para calcular V_IN1 podemos usar la superposición de los efectos, igualmente a lo que se hace cuando se calcula la polarización de los transistores bipolares. La tensión será el resultado de la suma de dos efectos: la componente V¹_IN debida a la tensión de entrada V_IN y la componente V¹_alim debida a la tensión de alimentación V_alim: $Latex: V_{IN1} = V^{1}_{IN} + V^{1}_{alim}$

Para determinar la contribución de V¹_alim podemos suponer que el condensador C_P1 sea un circuito abierto, ya que V_alim es una tensión continua: $Latex: V^{1}_{alim} = \dfrac{R_2}{R_1+R_2} V_{alim}$ Por otro lado, para determinar la contribución de V¹_IN consideramos V_alim = 0V y entonces substituimos a la alimentación un corto circuito (como requiere la regla de la superposición de los efectos): $Latex: V_{IN}^{1} = {\dfrac{R_1 || R_2}{R_1 || R_2 + R_z}} V_{IN}$ Juntando los dos resultados obtenemos: $Latex: V_{IN1} ~=~ \dfrac{R_2}{R_1+R_2} V_{alim} + \dfrac{R_1 || R_2 }{R_1 || R_2 + R_z} V_{IN}$

La ganancia del amplificador no inversor es independiente de las resistencias que aparecen en la expresión de V_IN1, y entonces podemos sustituirla con una constante: $Latex: \alpha~=~\left(1+\dfrac{R_f}{R_g}\right)$ La ganancia total del estadio no inversor es entonces: $Latex: V_{OUT} = \alpha {\dfrac{R_2}{R_1+R_2}} V_{alim} + \alpha {\dfrac{R_1 || R_2 }{R_1 || R_2 + R_z}} V_{IN}$

4.1 - Elección de los valores de los componentes

Para determinar los valores de los componentes podemos hacer algunas consideraciones: decidimos que la tensión V_IN sea presente igual en la salida; para polarizar correctamente la señal es necesario que a V_IN sea sumada mitad de la tensión de alimentación; en fin, elegimos α = 2, como nos permite utilizar R_F = R_G. Escribimos entonces un sistema hecho por las ganancias de V_IN y V_alim: $Latex: \begin{cases} \alpha\dfrac{R_1 || R_2 }{R_1 || R_2 + R_z} = 1 \\\\[1em] \alpha\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{1}{2} \\\\[1em] \alpha=2 \end{cases}$ Y desde este obtenemos: $Latex: R_z = \dfrac{3}{4} R_2 ~~~~ R_1 = 3 R_2$ En fin, la resistencia de entrada del circuito vale: $Latex: R_{IN} = R_z + R_1 || R_2 ~=~ 2 R_2$ Eligiendo R₂ = 33 KΩ y considerando las aproximaciones de la serie E12 se obtienen valores razonables: R₁ = 100 KΩ, R_z = 22 KΩ, R_in = 63 KΩ.

4.2 - Los condensadores de acoplamiento

El condensador C_P1 sirve para bloquear la corriente de polarización, así que esta no vaya en el dispositivo conectado a la entrada. Dicho de otra manera, es un filtro pasa alto, cuya frecuencia de corte es: $Latex: f_c = \dfrac{1}{2 \pi R_{IN} C}$ Elegimos que la frecuencia de corte de este filtro sea mucho mas pequeña de la frecuencia de trabajo mínima del circuito, por ejemplo 1Hz. Recordando que R_in = 66 KΩ, obtenemos C = 2.5 uF. El condensador de 46uF es entonces mas que adecuado para garantizar el acoplamiento. Las mismas consideraciones pueden ser hechas para C_P2, substituyendo a R_in la resistencia de cargo; dicha resistencia será igualmente elevada, como corresponderá a la entrada de un amplificador.

5 - El proyecto: el filtro

El estadio sucesivo es el verdadero filtro. Para el calculo de su función de transferencia existen numerosas demostraciones en la red, entre las cuales la de Wikipedia en in Castellano o en Inglés. Se obtiene: $Latex: H(s)~=~\dfrac{1}{ C_1 C_2 (R_A + R_P) R_B \cdot s^2 + C_2 ( R_A+R_P + R_B)\cdot s + 1}$ donde R_P es el valor que el potenciómetro P₁ tiene. Analizando este polinomio es posible extraer algunas expresiones matemáticas que ayudaran durante la fase de proyecto.

5.1 - Ecuaciones de proyecto

Si el denominador tiene dos polos reales, el diagrama de Bode de la función de transferencia empezará a decrecer en correspondencia del primer polo con pendiente de -20dB/década, y luego, en correspondencia del segundo polo, con pendiente de -40dB/década. Si por otro lado el denominador tiene dos polos complejos conjugados, habrá una única función de corte, en correspondencia de la cual habrá pronto un asíntota con pendiente de -40db/década. Esta es la condición mejor para el filtro. Para que esto pase, es necesario que el discriminante del denominador sea negativo: $Latex: C_2 ( R_A+R_P + R_B) - 4 C_1 C_2 (R_A+R_P) R_B < 0 ~~\rightarrow~~ \\\\ ~~\rightarrow~~\left(\dfrac{C_2}{C_1}\right) < \dfrac{ 4 (R_A + R_P)R_B}{(R_A + R_P + R_B)^2}$ En ese caso, su frecuencia de corte es: $Latex: f_t = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{(R_A+R_P) R_B C_1 C_2}}$

Para dimensionar los componentes del filtro, podemos utilizar la expresión de su frecuencia de corte. Cuando el potenciómetro está al final o al principio de su carrera se habrá respectivamente R_P = R_tot, donde R_tot es la resistencia total del potenciómetro, o R_P = 0 Ω. En estos dos casos se obtendrán las frecuencias limites f₀ = 20 Hz y f₁ = 200 Hz. La fórmula de la frecuencia de corte se reduce a: $Latex: R_P = R_{tot} ~ \rightarrow ~ f_0 = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{R_B(R_A+R_{tot}) C_1 C_2}}$ $Latex: R_P = 0 ~\rightarrow~ f_1 = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{R_A R_B C_1 C_2}}$ Sustituyendo las frecuencias limites y resolviendo un sistema continente las dos precedentes ecuaciones, obtenemos: $Latex: \begin{cases} R_B ~=~ \dfrac{1}{160000 \pi^2 C_1 C_2 R_A} \\\\ {R_{tot} ~=~ 99 R_A}\end{cases}$

En fin, se puede obtener una otra condición de proyecto de la expresión del factor de calidad. De hecho si la función de transferencia tiene polo complejos conjugados, puede ser presente un pico de resonancia en correspondencia de la frecuencia de corte. Para eliminar ese pico, el factor de calidad Q del filtro tiene que ser limitado: $Latex: \dfrac{1}{2}<Q<\dfrac{1}{\sqrt{2}} ~~ \rightarrow ~~ \\\\ ~~ \rightarrow ~~ \dfrac{1}{2}< \dfrac{\sqrt{C_1C_2(R_A+R_P)R_B}}{C_2(R_A+R_P)+C_2R_B} < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

5.2 - Elección gráfica de los valores de los componentes

Resumimos las condiciones empuestas hasta ahora: $Latex: \begin{cases} R_B ~=~ \dfrac{1}{160000 \pi^2 C_1 C_2 R_A} \\\\[1em] %{R_{tot} ~=~ 99 R_A} \\\\[1em] \left(\dfrac{C_2}{C_1}\right) < \dfrac{ 4 (R_A + R_P)R_B}{(R_A + R_P + R_B)^2} \\\\[1em] %Denominatore comune \dfrac{1}{2} < \dfrac{\sqrt{C_1C_2(R_A+R_P)R_B}}{C_2(R_A+R_P)+C_2R_B} < \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\\[1em] %Fattore qualità \end{cases}$ En orden, son la ecuación obtenida a partir de las frecuencias de corte mínima y máxima, las condiciones acerca del discriminante para tener polos complejos conjugados y la condición sobre el factor de calidad para no tener picos de resonancias.

La primera ecuación de las tres arriba contiene todos los componentes de los cuales queremos calcular los valores. Para poderlos elegir de forma rápida y intuitiva, la curva fue representada gráficamente, poniendo como parámetros C₁ e C₂, como variables independientes R_A y como variable dependiente R_B. En el mismo gráfico están coloradas en verde y amarillo las áreas donde está verificada la primera inecuación, relativa al discriminante negativo; las áreas coloradas solamente en verde corresponden por otro lado a los valores por los cuales la segunda inecuación, relativa al factor de calidad limitado, es verdadera. Las dos inecuaciones son evaluadas suponiendo que el potenciómetro asuma su máximo valor, es decir que R_P = R_tot = 99R_A. El gráfico, realizado con Derive 6, está representado en la siguiente figura, por C₁ = 4.7µF y C₂ = 100nF:

Figura 8: Gráfico realizado en fase de proyecto para escoger los componentes del filtro.

Estableciendo los valores paramétricos para C₁ y C₂ es posible trazar la curva y leer sobre esa los valores de R_A y R_B, manteniéndose al interior de la área colorada en verde (es decir, donde son respetadas ambas las inecuaciones). Los valores obtenidos son entonces R_A = 1.2 KΩ, R_B = 1.2KΩ, R_tot = 120 KΩ.

Bibliografia y otros documentos

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